Controlar el error: Académico del IMA y su trabajo en ecuaciones diferenciales
Su línea de investigación se apoya en una amplia red internacional de colaboración con especialistas en Bilbao, Nottingham, Polonia, Estados Unidos, Australia y América Latina.
24/10/2025
El nuevo vicedecano de la Facultad de Ciencias y profesor del Instituto de Matemáticas (IMA) PUCV, Ignacio Muga, pertenece a IMA-Numerics, el Grupo de Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales del IMA. Este equipo académico se dedica al estudio de algoritmos matemáticos complejos que permiten resolver cálculos prácticos en ámbitos como la propagación de ondas, el electromagnetismo, la transferencia de calor, la mecánica de fluídos, o la elasticidad.
En la actualidad, su investigación busca un equilibrio entre dos grandes métodos de resolución: los elementos finitos y las redes neuronales. “El problema es que la gente está resolviendo muchas cosas con redes neuronales. A veces los resultados son buenos, otras no tanto, pero la tendencia es clara: cada vez hay menos sesiones de elementos finitos y más de redes neuronales”, comenta.
Muga explica que su trabajo actual apunta a combinar ambas estrategias. “Estoy diseñando técnicas que mezclan los dos mundos, buscando el punto medio. Por ejemplo, elementos finitos asistidos con redes neuronales, o redes neuronales que aproximen ecuaciones diferenciales. En esa línea estoy investigando”, afirma.
El desafío de controlar el error
El académico señala que, a diferencia de los métodos clásicos, las redes neuronales carecen aún de bases teóricas sólidas. “Hay muy poca teoría. No sabemos si realmente tenemos control del error, como sucede en el caso de los elementos finitos. No existen resultados matemáticos que garanticen ese tipo de cosas, por lo tanto, es un terreno fértil para la investigación científica y matemática”, destaca.
Su trabajo se centra precisamente en esa búsqueda: cómo garantizar que las soluciones aproximadas se parezcan lo más posible a la solución real del problema. “Controlar el error, eso es a lo que nos dedicamos. Ver cómo diseñar los espacios adecuados para obtener teoremas de convergencia y estimadores que midan cuán cerca estamos de la solución exacta”, explica.
Además, Muga subraya el equilibrio entre precisión y capacidad computacional. “Mientras más capacidad tengas, más cerca estarás de la solución real. Pero siempre es una relación costo-beneficio. Cómo controlar ese error y qué parámetros usar en redes neuronales son hoy problemas abiertos”, comenta.
Aplicaciones y colaboración internacional
Más allá del desarrollo teórico, el académico trabaja junto a colegas de ingeniería en problemas aplicados, como la optimización de formas. “Se trata de diseñar objetos físicos que usen la menor cantidad de material posible, pero que soporten bien la carga que deben resistir. En el fondo, definir dónde habrá material y dónde no”, explica.
Su línea de investigación se apoya en una amplia red internacional de colaboración con especialistas en Bilbao, Nottingham, Polonia, Estados Unidos, Australia y América Latina. Todo esto está respaldado por el Proyecto FONDECYT Discrete-Dual Minimal-residual finite element methods y el proyecto FOVI de ANID Deep Physics-Informed Collaboration Network, ambos actualmente en ejecución.
Facultad de Ciencias PUCV