20.04.2021
Luis Alberto Lomelí es académico del Instituto de Matemáticas, Unidad en la que se imparte el Doctorado y Magíster en Matemáticas, así como también el Doctorado y Magíster en Didáctica de la Matemática.
Conversamos con el profesor para conocer el desarrollo de las líneas de investigación del programa, en especial del Programa de Langlands: Teoría de Números y Representaciones, área en la que el docente es el investigador principal a cargo de distintos proyectos con financiamiento externo que han aportado al desarrollo del conocimiento matemático.
En la actualidad, Lomelí es el investigador principal de dos proyectos: un Fondecyt Regular que está finalizando y otro que indaga en aspectos importantes del Programa de Langlands, la teoría de las funciones L y representaciones. Además, participa como colaborador en un proyecto MathAmSud 2020-2021 adjudicado en Teoría de Números e interconexiones con áreas afines (Chile, Colombia, Francia).
¿Cómo se involucra a los estudiantes del programa en esta línea?
“Actualmente, mi primer estudiante de doctorado defenderá su tesis el 23 de abril de 2021. Héctor del Castillo, realiza su trabajo de tesis en un nuevo caso de la funtorialidad de Langlands, en cotutela con la universidad Paris-Saclay, donde su co-tutor es mi colaborador en Francia, el profesor Guy Henniart”.
“Un segundo estudiante, Emilio Améstica, se encuentra trabajando en un proyecto de tesis muy algebraico, donde desarrolla algunos aspectos importantes de la teoría de representaciones asociada a grupos introducidos por Pantoja y Soto-Andrade. Recientemente, un tercer estudiante, Javier Navarro, adjudicó su beca doctoral ANID y planea realizar una tesis en el Programa de Langlands, donde explorará las interconexiones entre la Teoría de Números y la Teoría de Representaciones”.
“Se cuenta con proyectos para desarrollar nuevas direcciones de tesis en distintos niveles, desde pregrado, magíster, doctorado, y también a nivel postdoctorado y de investigación abierta, en temas de interés actual en la Teoría de Números y Representaciones”.
¿Existe algún grupo o núcleo de investigación asociado?
“El grupo de investigación ‘Aritmetica y Geometría en Valparaíso’, está muy activo y participa dentro del programa de Doctorado en consorcio que tenemos en Valparaíso (Doctorado en Matemáticas que es desarrollado en conjunto con la Universidad Técnica Federico Santa María y la Universidad de Valparaíso)”.
“Se cuenta con una red de colaboradores a nivel nacional e internacional, que articula la organización de eventos. El último fue una exitosa conferencia online este pasado diciembre, ‘Number Theory and Representations in Valparaíso’, que reunió a investigadores y estudiantes en un ambiente de intercambio académico. Además, reconocidos expertos a nivel mundial dictaron charlas desde Francia, Inglaterra, India, Estados Unidos y América Latina”.
¿Cuáles son los principales aportes de esta línea?
“Los principales aportes de mi investigación en el programa de Langlands son haber demostrado la Conjetura de Ramanujan Generalizada para representaciones automorfas de los grupos clásicos sobre cuerpos de funciones, y establecer la Hipótesis de Rieman en característica p para las funciones L asociadas a estos grupos clásicos por medio del método de Langlands-Shahidi. En particular, uno de mis aportes iniciales fue desarrollar este método en el nuevo caso de un cuerpo de funciones, para así obtener información aritmética de importancia sobre las funciones”.
¿Cómo definiría el desarrollo de estas investigaciones?
“A finales de los 60's, el profesor Robert Langlands vislumbró una serie de conjeturas matemáticas que interconectan a dos áreas de importancia en el mundo de la matemática moderna, la Teoría de Números y la Teoría de Representaciones de Grupos Algebraicos”.
“Estas conjeturas, han sido establecidas en algunos casos a lo largo de los años, gracias al trabajo de grandes mentes matemáticas y tienen la gracia de ser retroactivamente compatibles con las leyes de reciprocidad conocidas con anterioridad, como las leyes de reciprocidad de Artin del siglo XX, que a su vez tienen sus orígenes en la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss”.
“Señalamos a dos grandes problemas de la matemática moderna, Conjetura de Ramanujan Generalizada e Hipótesis de Riemann, los cuales han encontrado su contexto adecuado en el Programa de Langlands, y se espera que su solución provenga de investigación en esta línea. Son problemas abiertos que proveen inspiración y cautivan la mente. Conjetura e hipótesis, se plantean sobre los racionales y los cuerpos de números, y además sobre cuerpos de funciones que surgen de cuerpos finitos y se interconectan con la geometría algebraica y aritmética”.
“Es en los cuerpos de funciones donde se ha tenido mayor éxito, y he contribuido con una demostración de estos dos problemas en el caso de los grupos clásicos en característica p, al combinar sus resultados sobre la teoría de funciones L con los resultados establecidos por matemáticos como Deligne y los hermanos Lafforgue”.
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